맥포머스로 만드는 존슨의 다면체

아래는 영국 리드대학교에서 수학을 가르치는 시니어 조교인 Richard Elwes 박사의 블로그 글에서 발췌한 내용입니다. 자세한 내용의 Richard Elwes 박사의 블로그(https://richardelwes.co.uk/2018/05/18/magforming-the-johnson-solids/)에서 참조하시길 바랍니다.

아이들에게 맥포머스가 처음 생겼을 때 나는 그것을 가져다 정다면체 만들기를 시도해보았다. 그 다음에는 준정다면체(Archimedean solids)만들기를 시도하였으며, 다양한 준정다면체 중 다섯가지 형태를 맥포머스로 구현할 수 있었다.

<삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 팔각형>

또한 6가지 형태의 엇각기둥형태도 만들 수 있었다.

<이각영, 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 팔각형의 엇각기둥

다음으로, 맥포머스로 다면체를 만들어보았다. 아래는 맥포머스로 만들어 본 3가지 정테셀레이션과 준정테셀레이션이다.

하지만 테셀레이션은 단순히 2차원에만 한정되지 않는다.

플라톤 입체, 아르키메데스 입체, 각기둥 형태의 입체들의 조합으로 공간을 구성하는 23가지의 다양한 벌집형태를 맥포머스로 구현가능하다.

그 동안 만든 여러 입체모형의 특징은 두 가지로 요약 정리할 수 있다. 바로 대칭(symmetry)과 볼록성(convexity)이다. 우선 모든 면들은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 또는 정팔각형으로 이루어져 매우 대칭을 이루고 있다. 이는 즉 정다면체를 의미한다. 맥포머스는 마름모나 이등변 삼각형 등을 제공하지만 이러한 형태의 조각은 사용하지 않았다. 플라토닉 입체, 즉 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이며 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 말하며, 아르키메디안 입체, 즉 준정다면체는 모든 꼭지점을 한 종류의 정다각형으로 잘라내어서 생긴 다면체를 말한다.

존슨의 다면체(Johnson-多面體)는 각 면이 정다각형이며 볼록한 다면체 중 다면체, 아르키메데스의 다면체, 각기둥, 엇각기둥을 제외한 다면체를 일컬으며 모두 92개이며 이는 1996년에 노만 존슨에 의해 이름이 붙여지고 설명되었다.

나의 연구에 의하면, 92개의 존슨 다면체 중 10각형 형태의 피스가 개발된다면 74개의 형태를 맥포머스로 표현이 가능하다.

예를 들면 존슨 다면체 중 가장 심플한 형태인 피라미드를 볼 수 있다.

존슨의 다면체는 다양한 입체면들을 합치면서 얻어지는 것임을 위 모형들을 통해 알 수 있다.

위 피라미드를 대칭에 맞춰 서로 붙여주면 아래와 같이 쌍뿔형태를 얻을 수 있다.

이러한 쌍뿔형태가 흥미로운 이유는 그들은 서로 면추이(face-transitive)라고 하여 모든 면이 서로 합동이다. 단순히 면의 모양이 같다기보다 군의 작용을 통해 한 면을 다른 면으로 돌렸을때 모든 면과 모서리가 포개어 짐을 의미한다. 하지만 이것은 한점에 모인 면들의 개수와 종류가 일치하게 되는 점추이(vertex transitive)는 아니다. 맥포머스의 다양한 피스 조합으로 여러형태의 입면체뿐 만아니라 존슨의 다면체를 표현하고 공부할 수 있다.